September 2, 2017

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By Otto Forster

ISBN-10: 3834805750

ISBN-13: 9783834805751

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H Die partielle Ableitung in der i-ten Koordinatenrichtung ist also nichts anderes als die gew¨ohnliche Ableitung nach der i-ten Variablen bei Festhaltung der u¨ brigen n − 1 Ver¨anderlichen. Deshalb gelten f¨ur die partiellen Ableitungen analoge Rechenregeln wie f¨ur die gew¨ohnlichen Ableitungen. Definition. Sei U ⊂ Rn offen. Eine Funktion f : U → R heißt partiell differenzierbar, falls Di f (x) f¨ur alle x ∈ U und i = 1, . , n existiert. f heißt stetig partiell differenzierbar, falls zus¨atzlich alle partiellen Ableitungen Di f : U → R stetig sind.

Sei U ⊂ Rn eine offene Menge und v = (v1 , . . h. alle Komponenten vi : U → R seien partiell differenzierbar). Dann heißt die Funktion ∂vi i=1 ∂xi n divv := ∑ die Divergenz 1 des Vektorfeldes v. Bemerkung. Formal kann man die Divergenz von v als Skalarprodukt des Differentialoperators ∇ mit dem Vektor v schreiben, ∂ vi . ∂x i i=1 n divv = ∇, v = ∑ Die Produktregel liefert f¨ur die Divergenz die folgende Rechenregel: Auf einer offenen Menge U ⊂ Rn sei f : U → R eine differenzierbare Funktion und v : U −→ Rn ein partiell differenzierbares Vektorfeld.

Gleichm¨aßige Konvergenz von Funktionenfolgen Definition. Seien X eine beliebige Menge, Y ein metrischer Raum, sowie fn : X → Y, n ∈ N, und f :X →Y Abbildungen. Man sagt, die Folge ( fn )n∈N konvergiere gleichm¨aßig gegen f , falls zu jedem ε > 0 ein N ∈ N existiert, so dass fn (x), f (x) < ε f¨ur alle x ∈ X und alle n N. Satz 9. Seien X ,Y metrische R¨aume und fn : X → Y , n ∈ N, eine Folge stetiger Funktionen, die gleichm¨aßig gegen die Funktion f : X → Y konvergiere. Dann ist auch f stetig. Beweis (vgl.

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