September 2, 2017

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By Vladimir A. Zorich

ISBN-10: 3540332782

ISBN-13: 9783540332787

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3°. V X V r (|X| < | y | ) V ( | y | < \X\) (Satz von Cantor). Daher ist die Klasse der Kardinalzahlen hnear angeordnet. Wir sagen, dass die Machtigkeit von X geringer ist als die Machtigkeit von Y und schreiben \X\ < \Y\, falls \X\ < \Y\ und \X\ ^ \Y\. Somit gilt: (|x|<|r|):=(|x|<|r|)A(|x|^|y|). Wie zuvor ist 0 die Menge und 'P{X) die Menge aller Teilmengen (Potenzmenge) der Menge X. Cantor machte die folgende Entdeckung: S a t z . \X\ < \V{X)\. Beweis. Die Annahnie gilt offensichtlich fiir eine leere Menge, so dass wir von nun an annehnien, dass X ^ 0.

Sei M{X;Y) die Menge der Abbildungen der Menge X auf die Menge Y und XQ ein festes Element von X. Zu jeder Funktion / £ M{X; Y) ordnen wir ihren Wert f{xo) G Y in XQ ZU. Durch diese Beziehung wird eine Funktion F : M{X;Y) -^ Y definiert. , ist Y die Menge der reeUen Zahlen, dann wird insbesondere jeder Funktion / : X —>• M durch die Funktion F : M{X;W) -)• K die Zahl F{f) = f{xo) zugeordnet. Somit ist F eine Funktion, die auf Funktionen definiert ist. Aus ZweckniaBigkeit werden derartige Funktionen Funktionale genannt.

Nun woUen wir einige Beispiele von Funktionen betrachten. Beispiel 1. Die Fornieln I = 2Trr und V = ^nr^ stellen eine funktionale Beziehung zwischen dem Umfang I eines Kreises und seinem Radius r und zwischen dem Volumen V eines BaUs und seinem Radius r her. Jede dieser Formeln hefert eine besondere Funktion / : ffi+ ^ ]R_|_, die auf der Menge M-i- der positiven reellen Zahlen definiert ist und Werte in derselben Menge ergibt. Beispiel 2. Sei X die Menge der Inertialsysteme und c : X —>• K die Funktion, die jedem Koordinatensystem x £ X den Wert c{x) der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, die mit Hilfe dieser Koordinaten gemessen wird, zuordnet.

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